ＷＴＡの硬式テニスの試合では時速200km（初速？）を超えるサーブを見ることは珍しくありません。
こんなサーブをレシーブしたらどれくらいの力がラケットに掛かるのか、こんなサーブを打つとしたらどの程度の力をラケットに加える必要があるかをミニテニスに置き換えて、試算しました。
日本人のトップレベルプロテニスプレーヤーのスイング速度をミニテニスに当てはめてサービスした時、ラケットにはどれほどの衝突力が加わるかを試算してみたところ、次の結果を得ました。
結果、
・初速35.1m/secのサービスをする時、ラケットには水平方向に2.6kgの力が作用します
以下、詳述します。
日本の或るトッププロのスイング速度(Vro=33.6m/sec)をミニテニスのラケットを振った時のスイング速度に換算します。
方法として、硬式テニスのラケットとミニテニスのラケットの長さの比でスイング速度を補正します。
ラケットを握る肩から上腕と前腕と手の長さ70cmにスイートスポットまでの距離(ミニテニスと硬式ラケットの手からの距離を32cmと58.5cm)を加えたものの比を求めて、ミニテニスの場合に換算すると、スイング速度は26.6m/secになります。
Vro1=Vro＊R=33.6*（70+32）/(70+58.5)≒26.6m/s≒95.7km/h
秒速26.6mのスイング速度でボールを打った時のボールの初速は次の通りになります。
Vb：打球の速度(m/s) Vro：ラケットの速度(m/s) e：*1反発力係数：0.32(実測値)とする。
Vb=Vro(1 + e)=Vro*1.32=26.6*1.32=35.1m/sec
*1：反発力係数とは吊るしたラケットにボールを衝突させた時、ボールがラケットに当たる直前と直後の速度比から求めたもの。
又、反発係数：0.32とは、実測値の反発係数0.61を「テニス・ラケットとボールの反発特性」の研究結果をもとに補正したもの
初速が秒速35.1mでサービスした時のラケットに掛かるボールの打出し力(Fr)を求めます。
重さ(W)30gのボールを加減速時間(Δt)0.04秒の間に静止しているボールを初速(Vb=35.1m/sec)まで加速されるとします。
Fr=m*α=W/9.8*((Vb-0)/(Δt))=30/9.8*((35.1-0)/0.04)=2686g
故に、ボールの打出し力は2.8kgになります。
次に、ラケットに生じる慣性力(F)を求めます。
計算に際し、重さ(W)280gのラケットを0.2秒の間に秒速26.6mまで加速するスイングをするものとします。
F=m*α=280/9.8*(26.6-0)/0.2=3800g
結果、ラケットの慣性力(F)3.8kgは、ボールの打出し力(Fr)2.6kgより大きいので腕力を加えなくとも余力を持ってサーブをすることができます。
日本人のトップレベルプロテニスプレーヤーのスイング速度をミニテニスに当てはめて試算したサーヒ゛スボールの衝突速度のボールをラケットで受ける時、ラケットにはボールの水平方向の衝突力と、ボールがスピン(回転)していることで生じる垂直方向の接線力が加わります。スピンがトップスピンの時は下向きの力(接線力)が、バックスピンの時には上向きの力(接線力)が加わります。次に、衝突力と接線力を試算します。
結果、両サーフ゛の初速が35.1m/secの時
①フラットサーブの衝突速度が６．３m/secの時、水平方向に０．５８kgの力がラケットに作用します
②ドライブサーブの衝突速度が３０．５m/secの時、４．６°下向きに２．３kgの力がラケットに作用します
以下、詳述します。
ドライブサーブとフラットサーブをサービスした時のシュミレーションをしたところ次の結果を得ました。
シュミレーション条件：・初速：35.1m/sec ・飛距離：13.4ｍ ・サーヒ゛ス高さ：0.84ｍ ・弾道高さ：1.06ｍ ・ドライブサーブのボール回転数：348rpm
①ドライブサーブの時：・初速：35.1m/sec、・平均球速：32.4m/sec、・着地時の球速：30.5m/sec
②フラットサーブの時：・初速：35.1m/sec、・平均球速：20.1m/sec、・着地時の球速：7.6m/sec
初速35.1m/secのボールが空気抵抗で衝突速度まで減速したのがそのままバウンドしてラケットに当たった時の衝突力(Fi)を求めます。
①ドライブサーブの衝突速度が30.5m/secの時、ラケットには2.3kgの衝突力が加わります。
②フラットサーブの終端速度が7.6m/secの時、ラケットには約0.58kgの衝突力が加わります。
試算条件として、・サーブの飛距離は13.4m、・打出し高さは84cm、・ドライブボールの回転数は毎分348回転、・フラットボールは回転させないで、・ネットギリギリの高さを通した時とします。
又、衝突力(Fi)は、終端速度V1のボールが加減速時間(Δt)秒の間にラケット面で止まり、V0=0m/secになったとしたときのものです。
次に衝突力を試算します。
V1：衝突速度(衝突速度)=7.6、30.5m/sec、V0：ラケットに接触後の速度=0m/sec、W：ボールの重量＝30ｇ、Δｔ＝*20.04秒
①フラットサーブ：V1=7.6m/secの時 Fi=ｍα=W/9.8*(V1-V0)/(Δt)=30/9.8*(7.6-0)/0.04=581g
②ドライブサーブ：V1=30.5m/secの時 Fi=ｍα=W/9.8*(V1-V0)/(Δt)=30/9.8*(30.5-0)/0.04=2334g
＊2 0.04秒：硬式テニスのボールとラケットの接触時間の3/1000～5/1000秒をもとに、硬式ボールとミニテニスボールの容積比1/10を考慮して、ミニテニスの接触時間を10倍の平均値の0.04秒と仮定*1：
ドライブサーブのボール回転数が毎分348回転の場合、接線力(上下方向の力)は191gになります。
スピンの掛かったボールを受けるラケットにはボールの衝突力以外に、衝突直後からボールの回転力(慣性モーメント)でラケットを転がり上がろうとする接線力が下向きに働きます。
接線力は回転するボールのトルクから偶力を求めることができます。
トルク(T)は、慣性モーメント(Ｉ)と角加速度(ω・)の積になります。
T=I*ω・ → F*ｒ=I*ω・ → Fi*μ*ｒ=I*(ω1-ω2)/(Δt) (1)
又、角加速度(ω・)は、ボールがラケットに衝突してブレーキが掛かって転がる加減速時間(Δt)秒間に止まるとします。
運動エネルギーの法則より、回転エネルギーと並進運動(ブレーキ)エネルギーは等しいことから、加減速時間(Δt)はブレーキが掛かってからボールが停止するまでのボールの周長(S)から算出します。
1/2*I*ω2=F*μ*S ⇔ S=(1/2*I*ω2)/(F*μ)
ω=2*π*348/60=36.4rad/s、F=Fi=2334g、転がり摩擦係数(μ)=0.04、I=0.79cm^2･s^2、r=6.25cm とすると、
S=(1/2*0.79*36.4^2)/(2334*0.04)=5.6 S=r*θ より θ=S/r=5.6/6.25=0.89rad
回転角(θ)から、１秒間に回転するボールの回転角度(φ)より加減速時間(Δt)を求めます。
(Δt)=θ/φ=0.89/(2*π*348/60)=0.02秒
求めた加減速時間(Δt)より、角加速度を求めます。
ω・=(ω-ωo)/(Δt)=(2*π*348/60-0)/0.024=1516rad/s^2
次に慣性モーメント(I)を求めます
慣性モーメント(I)=I=2/3*W/980*ｒ^2=2/3*30/980*6.25^2=0.79g･cm^2･s^2
以上から、接線力は、次式の通り、191gになります。
F=I*ω・/r=0.79*1516/6.25=191g
以上の計算より、ラケットには水平方向の力と垂直方向の力の合成力が作用します。即ち、
①フラットサーブで衝突速度が7.6m/secの時は、水平方向に、0.58kgの力がラケットに作用します
②ドライブサーブで衝突速度が30.5m/secの時は、4.6°下向きに2.3kgの力がラケットに作用します